Mittelwert vs. Median

Was ist der Unterschied zwischen dem Median und dem Mittelwert, bzw. wann sollte der Mittelwert und wann der Median verwendet werden? 

Im Allgemeinen lässt sich der Unterschied zwischen Mittelwert und Median folgendermaßen auf den Punkt bringen:

  • Der Mittelwert (Auch bekannt als arithmetisches Mittel oder Durchschnitt) ist prinzipiell die präzisere Kennzahl.
  • Auf Grund der höheren Präzision reagiert der Mittelwert empfindlicher gegen Ausreißer oder Messfehler als der Median.
  • Der Median ist grundsätzlich unpräziser als der Mittelwert.
  • Wenn die untersuchte Stichprobe jedoch mit Ausreißern verunreinigt ist, ist der Median im Vorteil, da er weniger empfindlich gegen Ausreißer ist.
  • Die angesprochene Eigenschaft der Präzision wird in statistischer Fachterminologie als "Effizienz" bezeichnet. 
  • Die Eigenschaft der Unempfindlichkeit gegen Ausreißer wird in statistischer Fachterminologie als "Robustheit" bezeichnet.
  • Somit: Der Mittelwert hat eine hohe Effizienz und eine geringe Robustheit, der Median eine geringe Effizienz aber eine hohe Robustheit.

Betrachten wir nun ein Beispiel um das Verhalten von Mittelwert und Median in unterschiedlichen Situationen zu analysieren. Wir untersuchen hierbei zunächst, wie sich Mittelwert und Median bei Vorliegen einer Normalverteilung verhalten. 

Hierzu haben wir an einem regnerischen Tag 200 Regenwürmer gesammelt, die Körperlänge jedes Regenwurms gemessen und daraufhin den Mittelwert und den Median der Regenwurmlängen berechnet. In der nachfolgenden Abbildung ist das Histogramm der Regenwurmlängen zusammen mit deren Mittelwert und Median dargestellt:

 

 

Sie erkennen, dass für diese Stichprobe der Median und der Mittelwert nahezu gleich sind: Der Median beträgt hier 14.03 cm und der Mittelwert 14.13 cm. Der Grund dafür, warum Median und Mittelwert hier fast gleich sind, ist dass diese Verteilung symmetrisch ist und keine Ausreißer vorliegen. Im Falle einer symmetrischen Verteilung, die frei von Ausreißern ist, zeigen Median und Mittelwert somit nahezu keinen Unterschied.

 

Betrachten wir nun ein weiteres Beispiel: Hier wurden 200 Personen nach Ihrem monatlichen Einkommen befragt und erneut der Mittelwert und der Median des Einkommens berechnet. Diese sind zusammen mit dem Histogramm der Einkommen in folgendem Schaubild dargestellt:

 

 

Man erkennt in dieser Abbildung Folgendes:

  • Die Verteilung der Einkommen ist deutlich rechtsschief. D.h. es gibt viele Personen mit einem "normalen" Monatseinkommen von bis zu 5000 € und einige wenige Personen mit einem sehr hohen Monatseinkommen von z.B. 20000 € und mehr.
  • Der Median des Einkommens beträgt hier 2989 €, während das arithmetische Mittel mit einem Wert von 4106 € wesentlich höher liegt.
  • Falls Sie also eine schiefe Verteilung untersuchen, ist davon auszugehen dass Median und Mittelwert unterschiedliche Werte liefern.
  • Im Allgemeinen wird bei einer Schiefen Verteilung (Wie z.B. die Verteilung des Monatseinkommens) der Median bevorzugt, da der Median eine realistischere Einschätzung der Verteilung ermöglicht.

Fazit: Falls Sie also eine rechtsschiefe, oder eine linksschiefe Variable analysieren, dann geben Sie zusätzlich zum arithmetischen Mittel immer den Median an! In der Praxis kommen insbesondere rechtsschiefe Variablen häufig vor, und bei einer rechtsschiefen Variable ist der Mittelwert in der Regel deutlich größer als der Median. 

 

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Kommentare: 8
  • #8

    Johannes Strodl (Dienstag, 04 Mai 2021 14:52)

    Sehr schön erklärt und auch gut erklärende Beispiele!
    Danke

  • #7

    Elena (Samstag, 19 Dezember 2020 10:56)

    Ich analysiere bei meiner Promotionsarbeit Daten, die deutlich rechtsschief ist. Würden Sie dann bei der Datenanalyse Mittelwert und Median angeben ?

  • #6

    Florian Troppmair (Dienstag, 03 November 2020 22:44)

    Wochenstunden Fälle/100 000 EW Tote/100 000 EW
    Mittelwert 1101,4 43,9
    Median 770,2 49,1

    Fälle/100 000 EW: Warum ist der Mittelwert höher/niedriger als der Median?

  • #5

    Real shyt (Mittwoch, 28 Oktober 2020 13:10)

    Ravioli ravioli what are u hiding the pocketoli
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  • #4

    gay (Dienstag, 27 Oktober 2020 10:53)

    fuck Lmao boi vote for kanye

    fuck sleepy joeeee

  • #3

    LMao boi (Dienstag, 27 Oktober 2020 10:51)

    Vote for biden

  • #2

    Niklas (Montag, 28 September 2020 08:56)

    Hallo,

    ich bin derzeitig dran, Daten auszuwerten und sehe wenn ich durchscrolle, dass die Unterschiede durchaus groß sind und habe deshalb mich entschieden, mit dem Median zu rechnen.
    Ich kann Ihnen gerne mal ein Beispiel zukommen lassen.
    Geht um eine Masterarbeit.

    LG

  • #1

    Luzie (Freitag, 18 September 2020 17:00)

    Wie erklären sich die unterschiedlichen Werte von Median und dem Arithmetischen Mittel?